18  \(t\)-тест

Автор

И.С. Поздняков

18.1 Одновыборочный \(t\)-тест

Мы научились делать \(z\)-тест. Однако на практике он почти не используется, потому что предполагает, что мы откуда-то знаем стандартное отклонение в генеральной совокупности. Это обычно не так, поэтому мы оцениваем стандартное отклонение в генеральной совокупности на основе стандартного отклонения по выборке. Это приводит к тому, что тестовая статистика уже не распределена нормально, а распределена согласно \(t\)-распределению. Ну и статистика уже называется \(t\)-статистикой.

\[t = \frac{\overline{x} - \mu} {s_x / \sqrt{N}} \]

Полезное: казалось бы, причем здесь пиво?

Иногда это \(t\)-распределение называют \(t\)-распределением Стьюдента, а соответствующий статистический тест - критерий Стьюдента. Дело в том, что его открыл сотрудник пивоварни Гиннесс Уильям Госсет. Сотрудникам Гиннесса было запрещено публиковать научные работы под своим именем, поэтому он написал свою знаменитую работу про \(t\)-распределение под псевдонимом “Ученик” (Student).

Форма этого распределения очень похожа на форму нормального распределения, но имеет более тяжелые “хвосты” распределения. При этом эта форма зависит от размера выборки: чем больше выборка, тем ближе распределение к нормальному. Этот параметр распределения называется степенями свободы (degrees of freedom) и вычисляется как \(N - 1\), где \(N\) - это размер выборки.

Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.2.3
Warning: package 'stringr' was built under R version 4.2.3
── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.4
✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
✔ ggplot2   3.4.4     ✔ tibble    3.2.1
✔ lubridate 1.9.3     ✔ tidyr     1.3.0
✔ purrr     1.0.2     
── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

Как видите, чем больше выборка (и количество степеней свободы соответственно), тем ближе \(t\)-распределение к стандартному нормальному распределению. При 100 степенях свободы они уже почти не различимы! Поэтому на больших выборках разница между \(t\)-тестом и \(z\)-тестом будет минимальна, тогда как на маленьких выборках разница может быть значительной.

Давайте посчитаем \(t\)-статистику на тех же симулированных данных, что и раньше1:

set.seed(42)
samp <- rnorm(100, 100, 15)
m <- mean(samp)
sem <- sd(samp)/sqrt(length(samp))
t <- (m - 100)/sem
t
[1] 0.3122351

Давайте для сравнения еще раз посчитаем \(z\)-статистику:

(m - 100) / (15/sqrt(100))
[1] 0.3251482

Как видите, расчет довольно схожий, разница только в том, откуда мы берем стандартное отклонение. Для \(z\)-статистики у нас был заранее известный параметр генеральной совокупности (что обычно не так), для \(t\)-статистики мы оценивали стандартное отклонение по выборке.

Давайте теперь посчитаем p-value. Мы будем пользоваться не функцией pnorm(), а функцией pt(), а в качестве параметра распределения нужно указать количество степеней свобод в df = (размер выборки минус 1).

pt(t, df = length(samp) - 1)
[1] 0.6222407

Функция pt() считает от минус бесконечности до \(t\), а нам нужно от \(t\) до плюс бесконечности, потому что \(t\) больше \(0\):

1 - pt(t, df = length(samp) - 1)
[1] 0.3777593

И не забываем умножать на \(2\), если мы хотим сделать двусторонний тест.

(1 - pt(t, df = length(samp) - 1))*2
[1] 0.7555186

В отличие от \(z\)-теста, t-тест есть в базовом R.

t.test(samp, mu = 100)

    One Sample t-test

data:  samp
t = 0.31224, df = 99, p-value = 0.7555
alternative hypothesis: true mean is not equal to 100
95 percent confidence interval:
  97.38831 103.58714
sample estimates:
mean of x 
 100.4877

Да, конечно, мы могли сразу запустить эту функцию и получить результаты. Обычно именно так вы и будете делать. Зато теперь вы знаете, что стоит за всеми числами в результате выполнения функции t.test()! Здесь можно увидеть выборочное среднее как оценку среднего в генеральной совокупности, 95% доверительный интервал для оценки среднего в генеральной совокупности, \(t\)-статистику, степени свобод и p-value.

18.2 Двухвыборочный t-тест

Одна из наиболее часто встречающихся задач при анализе данных - это сравнение средних двух выборок. Для этого нам тоже понадобится \(t\)-тест, но теперь \(H_0\) нужно сформулировать по-другому: что две генеральные совокупности (из которых взяты соответствующие выборки) имеют одинаковое среднее. \[H_0: \mu_1 = \mu_2\]

Ну а альтернативная гипотеза, что эти две выборки взяты из распределений с разным средним в генеральной совокупности. \[H_1: \mu_1 \ne \mu_2\]

Есть две разновидности двухвыборочного \(t\)-теста: зависимый \(t\)-тест (paired \(t\)-test; dependent \(t\)-test) и независимый \(t\)-тест (unpaired \(t\)-test; independent \(t\)-test). Различие между зависимыми и независимыми тестами принципиальное, мы с ним еще будем сталкиваться при обсуждении других методов, например, дисперсионного анализа (см. Глава 22).

Зависимые тесты предполагают, что каждому значению в одной выборке мы можем поставить соответствующее значение из другой выборки. Обычно это повторные измерения какого-либо признака в разные моменты времени. В независимых тестах нет возможности сопоставить одно значение с другим. Мы уже не можем напрямую соотнести значения в двух выборках друг с другом, более того, размер двух выборок может быть разным!

Использование зависимых и независимых тестов связано с использованием внутрииндивидуального (intra-subject design) и межиндивидуального экспериментальных планов (inter-subject design) в планировании научных экспериментов. Даже если вы не планируете в дальнейшем заниматься проведением экспериментов, понимание различий между двумя видами планов поможет вам понять разницу между зависимыми и независимыми тестами.

Допустим, мы хотим исследовать влияние кофеина на скорость реакции у человека. Мы собрали добровольцев на эксперимент, подготовили обычную воду и воду с кофеином, определили методику измерения времени реакции. Что делать дальше? У нас есть два варианта.

  1. Межиндивидуальный экспериментальный план. Каждому испытуемому мы даем либо воду с кофеином, либо обычную воду. Что именно получит испытуемый получит определяется случайным образом. Таким образом, для межиндивидуального экспериментального плана рандомизация определяет испытуемого в одну из экспериментальных групп. Для анализа результатов такого исследования нам понадобится независимый \(t\)-тест.

  2. Внутрииндивидуальный экспериментальный план. Набрать выборку, каждому испытуемому дать и обычную воду, и воду с кофеином, записывать скорость решения задач после употребления простой воды и после употребления воды с кофеином, соответственно. В данном случае будет случайным образом варьироваться порядок предъявления: одни испытуемые сначала получат обычную воду, а потом воду с кофеином, другие испытуемые — наоборот. Для такого эксперимента понадобится меньше участников, но оно будет дольше для каждого участника. Более того, в этом случае мы учтем межиндивидуальные различия участников: одни участники в среднем решают задачи быстрее других. Это внутриинидивидуальный экспериментальный дизайн, для анализа результатов которого нам понадобится зависимый t-тест.

Внутрииндивидуальный план Межиндивидуальный план
Зависимый t-тест Независимый t-тест

Итак, с тем, когда использовать зависимый, а когда независимый t-тест, более-менее разобрались, давайте опробуем их!

Полезное: испытуемые должны быть слепыми котятками

Как при внутрииндивидуальном плане, так и при межиндивидуальном плане испытуемый не должен знать какое из экспериментальных условий он получает (слепое тестирование; blind study), а в идеале этого не должен знать даже сам экспериментатор, который дает напиток и измеряет показатели (двойное слепое тестирование; double blind study). Поскольку в внутрииндивидуальном плане испытуемый получает несколько экспериментальных условий, у него есть возможность сравнить различные условия, поэтому организовать слепое тестирование сложнее. Сделать экспериментальные условия максимально похожими друг на друга для испытуемого – особое искусство исследователя-экспериментатора.

18.2.1 Двухвыборочный зависимый t-тест

Двухвыборочный зависимый t-тест — это то же самое, что и одновыборочный t-тест, только для разницы между связанными значениями. Поскольку наша нулевая гипотеза звучит, что средние должны быть равны,

\[H_0: \mu_1 = \mu_2\]

то при верности нулевой гипотезы \[\mu_1 - \mu_2 = 0\].

Тогда вместо \(x\) подставим \(d\) — разницу (вектор разниц) между парами значений. Получаем вот что:

\[t = \frac{\overline{x} - \mu} {s_x / \sqrt{N}} = \frac{\overline{d} - (\mu_1 - \mu_2)} {s_d / \sqrt{N}} = \frac{\overline{d} - 0} {s_d / \sqrt{N}} = \frac{\overline{d}} {s_d / \sqrt{N}}\]

Мы будем использовать данные с курса по статистике Университета Шеффилда про эффективность диет. Мы вытащим оттуда данные по диете номер 1 и посмотрим, действительно ли она помогает сбросить вес.

library(tidyverse)
diet <- readr::read_csv("https://raw.githubusercontent.com/Pozdniakov/tidy_stats/master/data/stcp-Rdataset-Diet.csv")
Rows: 78 Columns: 7
── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
Delimiter: ","
dbl (7): Person, gender, Age, Height, pre.weight, Diet, weight6weeks

ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.
diet1 <- diet %>%
  filter(Diet == 1)

Провести двухвыборочный \(t\)-тест в R можно двумя базовыми способами. Первый вариант - это дать два вектора значений. Это удобно в случае широкого формата данных.

t.test(diet1$pre.weight, diet1$weight6weeks, paired = TRUE)

    Paired t-test

data:  diet1$pre.weight and diet1$weight6weeks
t = 7.2168, df = 23, p-value = 2.397e-07
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.354069 4.245931
sample estimates:
mean difference 
            3.3

Второй вариант - используя формулы. Это удобно при длинном формате данных:

diet1_long <- diet1 %>%
  pivot_longer(
  cols = c(pre.weight, weight6weeks),
  names_to = "when",
  values_to = "weight"
  )
  

t.test(weight ~ when, data = diet1_long, paired = TRUE)

    Paired t-test

data:  weight by when
t = 7.2168, df = 23, p-value = 2.397e-07
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.354069 4.245931
sample estimates:
mean difference 
            3.3 
t.test(diet1_long$weight ~ diet1_long$when, paired = TRUE)

    Paired t-test

data:  diet1_long$weight by diet1_long$when
t = 7.2168, df = 23, p-value = 2.397e-07
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.354069 4.245931
sample estimates:
mean difference 
            3.3

В обоих вариантах мы использовали paired = TRUE , чтобы обозначить использование именно зависимого (т.е. парного) t-теста.

Внутрииндивидуальный план Межиндивидуальный план
Зависимый t-тест Независимый t-тест
t.test(..., paired = TRUE) t.test(..., paired = FALSE)

18.2.2 Двухвыборочный независимый t-тест

В случае независимого t-теста формула отличается. Однако гипотеза остается такой же и логика примерна та же.

У двух выборок могут различаться стандартные отклонения, поэтому для подсчет стандартной ошибки разницы средних для независимых выборок нужно сначала посчитать объединенное стандартное отклонение (pooled standard deviation):

\[s^2_{pool} = \frac {(n_1-1)s^2_1 + (n_2-1)s^2_2} {(n_1 - 1) + (n_2 -1)}\]

Тогда стандартная ошибка разницы средних считается следующим образом:

\[se_{m_1 - m_2} = \sqrt {(s^2_{pool}) (\frac {1} {n_1} + \frac {1}{n_2} )}\]

Выглядит сложно, но по своей сути это что-то вроде усредненного стандартного отклонения (с учетом размеров выборок). Ну а t-статистика затем считается просто:

\[t = \frac {(m_1 - m_2) - (\mu_1 - \mu_2)} {se_{m_1 - m_2}} = \frac {(m_1 - m_2) - 0} {se_{m_1 - m_2}} = \frac {m_1 - m_2} {se_{m_1 - m_2}}\]

Давайте теперь опробуем независимый t-тест для сравнения веса испытуемых двух групп после диеты. Мы снова воспользуемся функцией t.test(), но теперь уже поставим paired = FALSE:

diet12 <- diet %>%
  filter(Diet %in% 1:2)
t.test(weight6weeks ~ Diet, data = diet12, paired = FALSE)

    Welch Two Sample t-test

data:  weight6weeks by Diet
t = 0.5711, df = 48.724, p-value = 0.5706
alternative hypothesis: true difference in means between group 1 and group 2 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -3.753268  6.732897
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2 
       69.57500        68.08519

Если присмотритесь, то увидите, что со степенями свободы что-то странное. Они дробные! Дело в том, что мы провели не совсем “настоящий” t-тест, а его очень близкую альтернативу под названием тест Уэлча (Welch test), который иногда называют поправкой Уэлча к t-тесту. Эта поправка позволяет тесту лучше справляться с выборками с разной дисперсией. Даже если у нас нет проблем с разной дисперсией, то от поправки Уэлча хуже не будет, поэтому это вариант по умолчанию в R.

Но если его хочется отключить, то нужно поставить var.equal = TRUE.

t.test(weight6weeks ~ Diet, data = diet12, paired = FALSE, var.equal = TRUE)

    Two Sample t-test

data:  weight6weeks by Diet
t = 0.5645, df = 49, p-value = 0.575
alternative hypothesis: true difference in means between group 1 and group 2 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -3.813769  6.793399
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2 
       69.57500        68.08519

18.3 Допущения t-теста

Чтобы подсчет p-value был корректным, некоторые допущения должны быть выполнены.

  1. Шкала должна быть не ниже интервальной, т.е. \(t\)-тест можно применять только в случа с интервальной шкалой или шкалой отношений. Иначе мы не можем говорить о различии средних – ведь только для этих шкал в принципе можно считать среднее.
  2. Нормальное распределение. Это самое известное допущение, но чуть ли не наименее важное. Часто утверждается, что выборки должны быть взяты из нормального распределения. Это не совсем так: да, верно, это достаточное условие, но не необходимое. В первую очередь, важно именно выборочное распределение (средних разниц или разниц средних), которое достигается за счет центральной предельной теоремы (Глава 17.8) особенно при большой выборке (Глава 17.7). Отсюда и все правила в духе “для t-теста распределение должно быть нормальным, но если n > 30, то это необязательно”. Откуда именно 30? Да ниоткуда, просто. Как и со всеми точными числами в статистике.

Для проверки на нормальность существуют различные статистические тесты. Самый известный из них — тест Шапиро-Уилка. Его можно провести в R при помощи функции shapiro.test().

shapiro.test(samp)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  samp
W = 0.98122, p-value = 0.1654

В нашем случае p-value больше 0.05, что логично: мы взяли эту выборку именно из нормального распределения. Если p-value меньше уровня \(\alpha\), который у нас стандартно 0.05, то мы можем отвергнуть нулевую гипотезу о том, что выборка взята из нормального распределения. Если это так, то нам нужно, по идее, отказаться от t-теста и использовать непараметрический тест, который не имеет требований к распределению исследуемой переменной.

Однако проведения теста на нормальность для проверки допущения о нормальности — вещь довольно бессмысленная. Дело в том, что тест Шапиро-Уилка — это такой же статистический тест, как и все прочие: чем больше выборка, тем с большей вероятностью он “поймает” отклонения от нормальности, чем меньше выборка, тем с меньшей вероятностью он обнаружит даже серьезные отклонения от нормальности. А нам-то нужно наоборот! При большой выборке отклонения от нормальности нам не особо страшны, а при маленькой тест все равно ничего не обнаружит. Более того, идеально нормальных распределений в природе вообще почти не существует! А это значит, что при достаточно большой выборке тест Шапиро-Уилка практически всегда будет находить отклонения от нормальности. Все это делает его малоинформативным при тестировании допущения о нормальности. Это же верно и для других тестов на нормальность.

Другой способ проверять допущение о нормальности — это проверять визуально с помощью гистограммы или Q-Q plot (см. (ref-lm_a?))

  1. Для двувыборочного независимого t-теста выборки должны быть взяты из распределения с одинаковыми дисперсиями. Однако это не так критично с применением поправки Уэлча.

  2. Независимость значений (или пар) в выборке. Типичным примером нарушения независимости является случай, когда t-тест применяется на неусредненных (например, по испытуемому) значениях. Еще один пример нарушения независимости — использование одного наблюдения несколько раз или использование одного и того же испытуемого несколько раз. Определить независимость можно следующим мысленным экспериментом: могу ли я хоть как-нибудь предсказать следующее значение в выборке? Например, в случае с несколькими значениями от одного испытуемого я могу ориентироваться на его предыдущие результаты и предсказать последующие результаты лучше, чем на основе простого среднего по всем остальным значениям. Это значит, что допущение о независимости нарушено.

18.4 Непараметрические аналоги t-теста

Если выборка не очень большая и взята из сильно ассиметричного распределения или выборка представляет собой порядковые данные, то можно воспользоваться непараметрическими альтернативами для t-теста.

Непараметрические тесты не имеют допущений о распределении, что делает их более универсальными. Большинство подобных тестов подразумевает превращение данных в ранги, т.е. внутри этих тестов происходит преобразование в ранговую шкалу. Такое преобразование может снизить статистическую мощность теста и привести к повышению вероятности ошибки второго рода.

18.4.1 Тест Уилкоксона

Непараметрический аналог двустороннего зависимого t-теста называется тестом Уилкоксона. Функция для него называется wilcox.test(), и она имеет такой же синтаксис, как и t.test().

wilcox.test(weight ~ when, data = diet1_long, paired = TRUE)
Warning in wilcox.test.default(x = DATA[[1L]], y = DATA[[2L]], ...): cannot
compute exact p-value with ties

    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  weight by when
V = 299, p-value = 2.203e-05
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
Осторожно: предупреждение о повторяющихся рангах

Не пугайтесь, когда видите сообщение “Есть совпадающие значения: не могу высчитать точное p-значение”. Это означает, что в ваших данных есть повторяющиеся значения, поэтому расчет p-value в данном случае — это некоторая апроксимация, но в большинстве случаев это не играет серьезной роли, разве что у вас действительно очень много повторяющихся значений.

18.4.2 Тест Манна-Уитни

Непараметрическим аналогом двустороннего независимого t-теста является тест Манна-Уитни. Для него тоже используется функция wilcox.test(), только в данном случае с параметром paired = FALSE.

wilcox.test(weight ~ when, data = diet1_long, paired = FALSE)
Warning in wilcox.test.default(x = DATA[[1L]], y = DATA[[2L]], ...): cannot
compute exact p-value with ties

    Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data:  weight by when
W = 357.5, p-value = 0.1546
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
Внутрииндивидуальный план Межиндивидуальный план
Зависимый t-тест: Независимый t-тест:
t.test(..., paired = TRUE) t.test(..., paired = FALSE)
Тест Уилкоксона: Тест Манна-Уитни:
wilcox.test(..., paired = TRUE) wilcox.test(..., paired = FALSE)

  1. Благодаря set.seed(42) мы можем точно повторить сгенерированные значения.↩︎